÷ƒ’À; è TeX output 1999.05.04:1336‹ ÿÿÿÿ ¿™¬ ýLfT‘ …rïhtml:ï html:ŽŽ •™¬ ýºL¾’ –íïóDÓít G® G® cmr17ºThe–7tGame“of“ChaosŽŸlÏ‘\KmóX«Q cmr12»P¬reter–ê¨v‘ÿXäan“Emde“BoasŽŽŽŽ’ ìaEv¬rert–ê¨v‘ÿXäan“Emde“BoasŽŽŽŽŽŸ(lÏ’ Æl/óò"V
cmbx10ÇAbstractŽŸÙœ‘/…sóý ':
cmti10ÈGame–¸eof“Chaos‘8ÜóKñ`y
cmr10²is–f»a“red“sorcery“in“the“oldest“of“all“customizable“card“games:‘úzÇMagic,Ž¤
™š‘ …rthe‘xbGathering²,‘‘trademark•¸ãed›ãb“y˜the˜Wizards˜of˜the˜Coast˜inc.‘$Successfully˜castingŽ¡‘ …rthis–#spšGell“enables“the“caster“to“engage“the“opp˜onenš¸ãt“pla˜y˜er“in“a“pGoten˜tially“un˜bGoundedŽ¡‘ …rseries–æIof“coin-
ip“games“abGout“life.›$¤Initially“the“an¸ãte“is“one“life.˜The“winner“decidesŽ¡‘ …rto–*sstop“or“to“plaš¸ãy“a“next“round.‘ñ!Ho˜w˜ev˜er,‘_ºfor“ev˜ery“next“round“the“an˜te“in“liv˜es“isŽ¡‘ …rdoubled.‘QMThis–óçwill“ensure“that“the“game“will“bšGe“terminated“as“so˜on“as“the“loser“has“hisŽ¡‘ …rtotal–]¯amounš¸ãt“of“liv˜es“reduced“to“zero“or“lo˜w˜er,‘_Æsince“terminating“the“game“of“c˜haos“atŽ¡‘ …rthis–UUpGoin¸ãt“yields“immediate“victory“of“the“duel.Ž¡‘ …rGivš¸ãen–x—the“inheren˜t“symmetry“of“this“game“the“question“is“whether“it“oers“the“casterŽ¡‘ …ranš¸ãy–˜"strategic“adv‘ÿqÇan˜tage“to“pla˜y“it.‘:/F‘ÿ*ªor“ev˜ery“pGossible“pla˜y“whic˜h“yields“a“pGositiv˜eŽ¡‘ …routcome–there“is“a“correspGonding“plaš¸ãy“whic˜h“yields“the“same“outcome“to“his“oppGonen˜t.Ž¡‘ …rConsequenš¸ãtly–UUthe“utilit˜y“v‘ÿqÇalue“of“this“game“should“bGe“zero.Ž¡‘ …rW‘ÿ*ªe›M in•¸ãv“ok“e˜elemen“tary˜game˜theory˜in˜order˜to˜illustrate˜ho“w˜this˜theory˜doGes˜conrmŽ¡‘ …rthis›ìÿin•¸ãtuition.‘O Ho“w“ev“er,‘Ýthe˜same˜theory˜can˜also˜bGe˜in“v“ok“ed˜in˜dieren“t˜scenarios,‘Ýlik“eŽ¡‘ …rÈThor‘ÿ}'grim's–“çlast“stand‘]Þ²where–UUthe“utilitš¸ãy“v‘ÿqÇalue“can“bGe“sho˜wn“to“bšGe“p˜ositiv¸ãe.Ž¡‘ …rThe–ý”illustrations“for“this“note“are“conš¸ãtained“in“the“p•Go˜w˜erp“oin˜t–ý”presen˜tation“whic˜h“isŽ¡‘ …raš¸ãv‘ÿqÇailable–˜in“pGdf“format“at“the“w˜ebsite“of“the“rst“author.‘9øSee“ï#html:The“game“of“Chaosï html:“forŽ¡‘ …r12–}[pages“displaš¸ãying“the“sheets“presen˜ted“at“the“1999“Dutc˜h“Mathematical“ConferenceŽ¡‘ …rin‘UUUtrec•¸ãh“t.ŽŸ"€A‘ …róÂÖN ff cmbx12ÊCon•ŒÌten“tsŽ¤ŒÏ‘ …rïhtml:ó ò"V
ó3
cmbx10Ë1Ž‘lÏGame–2of“Chaos“-“whš¦ty“pla˜y“it“at“all?ï html:’ › 2ŽŽ¡‘ …rïhtml:2Ž‘lÏV‘þó\on–2Neumann“-“Morgenstern“Utilit¦ty“Theoryï html:‘j©y4ŽŽ¡‘ …rïhtml:3Ž‘lÏUtilities–2for“the“game“of“Chaosï html:’ ¶–n5ŽŽŽŸ ’ Ù¯‡óKñ`y
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cmr10¹1ŽŽŒ‹ * ¿™¬ ýLfT‘ …rïhtml:ï html:ŽŽ •™¬‘ …r ýƒfTïhtml:ï html:Ÿ Ê1Ž‘LËGame–ffof“Chaos“-“whšŒÌy“pla˜y“it“at“all?ŽŸq‹ó!ý ':
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cmti10ÌGame–q¬of“Chaos‘ø¹is–8àa“red“sorcery“in“the“oldest“of“all“customizable“card“games:Ž¤
™šËMagic,‘Ù[the‘·ÿGathering¹,‘7rtrademark•²!ed›pb“y˜the˜Wizards˜of˜the˜Coast˜inc.‘9ûTheŽ¡card–¢is“sho²!wn“on“the“sheet“ï#html:The“game“of“Chaosï html:.‘€GF‘ÿeor“readers“not“familiar“with“thisŽ¡game:‘Ñit–ŒËis“a“customizable“card“game“whicš²!h“means“that“ev˜ery“pla˜y˜er“compMÞosesŽ¡a–Ždecš²!k“of“cards“to“pla˜y“with“from“a“large“collection“of“a˜v‘ÿdDailable“cards.‘ÕëPurpMÞoseŽ¡of–Šthe“game“is“to“defeat“yš²!our“oppMÞonen˜t“b˜y“reducing“his“n˜um˜bMÞer“of“liv˜es“(initiallyŽ¡20)–Y˜to“zero“or“less.‘÷sY‘ÿeou“can“damage“yš²!our“oppMÞonen˜t“b˜y“summoning“creaturesŽ¡whic•²!h›ÀÉma“y˜attac“k˜y“our˜oppMÞonen“t˜or˜b“y˜casting˜other˜spMÞells˜whic“h˜will˜harmŽ¡him–Æor“her“in“some“other“w•²!a“y–ÿe.‘:þY“ou–Ædefend“yš²!ourself“against“y˜our“oppMÞonen˜t“b˜yŽ¡summoning–ƒ€creatures“whicš²!h“will“bloMÞc˜k“the“attac˜king“creatures“(and“whic˜h“ma˜yŽ¡get›"ákilled,‘=/destro•²!y“ed˜or˜buried˜in˜the˜proMÞcess),‘=/b“y˜coun“tering˜spMÞells˜cast˜b“y˜y“ourŽ¡oppšMÞonen•²!t,‘°b“y–zïcasting“sp˜ells“whicš²!h“will“protect“y˜ou“(or“y˜our“creatures),‘°or“b˜yŽ¡in•²!v“oking–ùéeects“whic²!h“will“repair“and“heal“damage“suered“previously“in“a“turn,Ž¡or–Z whicš²!h“ma˜y“damage“y˜our“oppMÞonen˜t“or“his“or“her“creatures.‘ú‹Eac˜h“spMÞell“y˜ouŽ¡w•²!an“t–úto“cast“mš²!ust“correspMÞond“to“a“card“y˜ou“curren˜tly“ha˜v˜e“in“y˜our“hand,‘andŽ¡it–7®can“bMÞe“cast“only“once.‘‘µThe“cost“of“using“a“card“(casting“cost)“is“expressedŽ¡in–zunits“of“mana,‘‚öwhicš²!h“is“obtained“b˜y“\tapping"“lands“y˜ou“ha˜v˜e“pla˜y˜ed“earlierŽ¡in–$the“game.‘XXMana“exists“in“vš²!e“colored“
a˜v˜ors“(red,–Dwhite,“blac˜k,“green‘$andŽ¡blue)–³ýand“a“generic“v²!ersion.‘£The“same“color“labšMÞels“are“ascrib˜ed“to“most“sp˜ells;Ž¡a–ø‘red“spMÞell“will“require“an“amounš²!t“of“red“mana“together“with“another“amoun˜tŽ¡of–igeneric“mana.‘ÉoHence“it“is“not“only“a“matter“of“ha²!ving“enough“lands“or“otherŽ¡mana–¦fsources;“they“also“should“bMÞe“of“the“righš²!t“t˜ypMÞe.Ž¡‘ Ov²!erall–üthe“rules“of“the“game“are“quite“complex,‘i"and“sub‘ ›»ject“to“regularŽ¡revisions,›$ partly–gdue“to“the“in²!troMÞduction“of“series“of“expansion“cards,˜and“partlyŽ¡due–žto“an“increased“sensitivitš²!y“for“pMÞoten˜tial“w˜eak“spMÞots“in“the“game.‘¯šA˜t“presen˜tŽ¡the–Ûsixth“edition“of“the“game“is“abšMÞout“to“app˜ear.‘ð2ï html:Ž‘yš].Ž¡‘ The›öÇÌGame–4Ýof“Chaos‘Üß¹is˜just˜a˜single˜card˜in˜the˜game,‘
ßwhic•²!h˜in“troMÞduces˜inŽ¡fact–àªa“subgame“whicš²!h“ma˜y‘ÿe,‘ï;but“doMÞesn't“necessarily“terminate“the“en˜tire“game.Ž¡Successfully–m0casting“this“spšMÞell“enables“the“caster“to“engage“the“opp˜onenš²!t“pla˜y˜erŽ¡in–ma“pšMÞoten²!tially“innite“series“of“coin-
ip“games“ab˜out“life.‘3ƒInitially“the“an²!teŽ¡is–M«one“life.‘Ó«The“pla•²!y“er–M«
ips“a“coin“and“the“oppMÞonen²!t“calls“head“or“tails“whileŽ¡the–o¢coin“is“in“the“air.‘9‘If“the“outcome“is“correct“the“pla•²!y“er–o¢gains“one“life“andŽ¡the–œ”oppMÞonenš²!t“loses“a“life.‘Ú—Subsequen˜tly“the“winner“decides“to“stop“or“to“pla˜y“aŽ¡next›¦round.‘CžHo•²!w“ev“er,‘;vfor˜ev“ery˜next˜round˜the˜an“te˜in˜liv“es˜is˜doubled.‘CžThisŽ¡will–Îüensure“that“the“game“will“bšMÞe“terminated“as“so˜on“as“the“loser“has“his“totalŽ¡amounš²!t–û"of“liv˜es“reduced“to“zero“or“lo˜w˜er,‘Psince“terminating“the“game“of“c˜haosŽ¡at–Aðthis“pMÞoinš²!t“yields“immediate“victory“of“the“duel“(disregarding“for“the“momen˜tŽ¡the–â1pšMÞossible“eect“of“damage“prev•²!en“tion–â1or“healing“sp˜ells“in“the“game.‘‘=In“factŽ¡under–±the“new“rules“for“the“sixth“edition“of“the“game“this“problem“ev‘ÿdDapMÞorates:Ž¡one–W>no“longer“has“to“wš²!ait“till“the“end“of“a“phase“in“order“to“decide“whether“y˜ouŽ¡are–¦fdead“bš²!y“ha˜ving“zero“liv˜es“or“less).Ž¡‘ In–+œthe“sequel“the“t•²!w“o›+œpla“y“ers˜will˜bMÞe˜iden“tied˜b“y˜their˜names˜ËThorgrimŽŽŸ ’ Ù¯‡¹2ŽŽŒ‹
É ¿™¬ ýLfT‘ …rïhtml:ï html:ŽŽ •™¬ ýŽfT‘ …r¹and–{ÍËUrgat¹.‘^Thorgrim“is“High“King“of“the“Dw²!arfs,‘±&whereas“Urgat“is“an“OrcŽ¤
™š‘ …rBig–XBoss,‘“õbMÞoth“originating“from“the“W‘ÿearhammer“wš²!orldïhtml:Ÿü¾ó|{Y cmr8¼1ŽŽ‘Àï html:¹;‘—they“ha˜v˜e“the“pMÞerfectŽ¡‘ …rcš²!haracteristics–éof“oppMÞonen˜ts“in“a“game:‘they“ha˜v˜e“bMÞeen“in˜v˜olv˜ed“in“a“feud“whic˜hŽ¡‘ …rhas–+Çlasted“for“o•²!v“er–+Ça“millennium,‘DMand“they“hate“eacš²!h“other.‘´ýOur“t˜w˜o“friends“areŽ¡‘ …rillustrated–¦fon“sheet“ï#html:the“pla•²!y“ersï html:.Ž¡‘1…rDev²!eloping–Ythe“game“tree“(incorpšMÞorating“the“alternation“b˜et•²!w“een‘Yc“hanceŽ¡‘ …rmo•²!v“es–Ð
and“deterministic“mo•²!v“es›Ð
b“y˜the˜t“w“o˜pla“y“ers),‘Úwyields˜a˜highly˜symmetricŽ¡‘ …rstructure.‘ŠjAš²!t–5@a“deterministic“noMÞde“the“pla˜y˜er“who“has“to“mo˜v˜e“can“decide“toŽ¡‘ …rterminate–yýthe“game“with“pa•²!y“o›yý+ó" b>
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cmsy10Î “Ín¹,‘®ãwhere˜Ín˜¹is˜the˜cum•²!ulativ“e˜n“um“bMÞerŽ¡‘ …rof–ÉFlivš²!es“gained“b˜y“the“Thorgrim.‘F~If“the“pla˜y˜er“decides“ho˜w˜ev˜er“to“con˜tin˜ue“theŽ¡‘ …rnext–‚noMÞde“is“a“cš²!hance“mo˜v˜e“whic˜h“has“t˜w˜o“descendan˜t“noMÞdes“(eac˜h“with“loMÞcalŽ¡‘ …rprobabilitš²!y–PË1/2)“whic˜h“are“deterministic,‘{dwhere“the“pla˜y˜er“who“wins“the“coinŽ¡‘ …r
ip–ç§is“to“mo•²!v“e.‘¡¡See–ç§the“illustration“on“sheet“ï#html:the“game“treeï html:,‘÷øwhere“w²!e“actuallyŽ¡‘ …rha•²!v“e–¦freduced“the“size“of“the“tree“bš²!y“an“abbreviation“hiding“the“c˜hance“noMÞdes.Ž¡‘1…rIt–r is“easy“to“see“that“the“pa•²!y“o–r is“alw•²!a“ys–r ošMÞdd“and“p˜ositivš²!e“for“the“pla˜y˜erŽ¡‘ …rwho–^‡has“wš²!on“the“last“coin“
ip.‘ÅèBut“for“ev˜ery“pla˜y“with“pMÞositiv˜e“pa˜y˜o“+Ín=–ß/Î “ÍnŽ¡‘ …r¹for–·›Thorgrim,‘»èthere“exists“a“re
ected“plaš²!y“resulting“in“pa˜y˜o“Î Ín=–zd¹+“Ín–·›¹in“fa˜v˜orŽ¡‘ …rof›Á½Urgat.‘/ãMoreo•²!v“er˜bMÞoth˜pla“ys˜oMÞccur˜with˜equal˜probabilit“y‘ÿe.‘/ãOn˜bMÞehalf˜of˜thisŽ¡‘ …rsymmetry–Ê;it“seems“that“the“expMÞected“v‘ÿdDalue“of“the“game“is“zero:‘%ˆthere“is“noŽ¡‘ …rrational–Yreason“to“plaš²!y“it.‘õÝCertainly“it“is“highly“irrational“to“pa˜y“the“castingŽ¡‘ …rcost–,õof“three“red“mana,‘E?if“yš²!ou“kno˜w“that“the“same“amoun˜t“of“mana“could“in
ictŽ¡‘ …r9–~damage“to“yš²!our“oppMÞonen˜t“b˜y“casting“three“ligh˜tning“bMÞolts.‘ÚåAlternativ˜ely“oneŽ¡‘ …rcould–³Vsummon“three“1/1“goblinsïhtml:Ÿü¾¼2ŽŽ‘Àï html:¹,‘¶’or“a“1/1“goblin“together“with“a“goblin“king:Ž¡‘ …ra–ð#2/2“creature“with“the“spMÞecial“abilit²!y“Ìal‘ Fl–Cï html:Ÿff‰ ff –Q¸Ÿ
LÍ‘{ºŸü-=ó¹Aa¨ cmr6½1ŽŽŽ‘¦aïhtml:ó%o´‹Ç cmr9ÐWï html:arhammer–Tis“a“trademark“of“the“Games“W‘ÿ:«orkshopŽŸ ‘{ºŸü-=½2ŽŽŽ‘¦aïhtml:Ðiï html:n–[Üthe“notation“a/b“the“n•¾9um“bAÇer–[Üa“denotes“the“attacš¾9k“strength“whic˜h“represen˜ts“the“amoun˜tŽ¤ of–Z5damage“the“creature“doAÇes“if“it“attacš¾9ks,‘¢and“b“denotes“the“toughness“represen˜ting“the“amoun˜tŽ¡of–Tdamage“the“creature“has“to“absorb“in“order“to“bAÇe“destro•¾9y“edŽŽŸ ’ Ù¯‡¹3ŽŽŒ‹ — ¿™¬ ýLfT‘ …rïhtml:ï html:ŽŽ •™¬ ýŽfT‘ …rÊ2Ž‘8Ò=V‘þ¦fon–ffNeumann“-“Morgenstern“UtilitŒÌy“TheoryŽŸq‹‘ …r¹F‘ÿeor–íðthe“purpšMÞose“of“this“note“a“game“is“a“nite“ro˜oted“tree.‘´zIn²!ternal“no˜des“areŽ¤
™š‘ …rlabMÞeled–¿‡either“bš²!y“the“pla˜y˜ers“ÎfÍT‘ éš;‘Ó1U‘1ŸÎg¹,‘ÅÏindicating“the“pla˜y˜er“who“has“to“mo˜v˜e“atŽ¡‘ …rthis–
=pšMÞosition,‘)xor“the“no˜de“is“lab˜eled“to“b˜e“a“cš²!hance“mo˜v˜e“(labMÞel“ÍC‘ ȹ)“in“whic˜h“caseŽ¡‘ …rthe–ÖÌoutgoing“edges“ha•²!v“e–ÖÌprobabilities“assigned“whic²!h“should“sum“up“to“1.‘˜ªIn“ourŽ¡‘ …rsheets–pXthese“labšMÞels“are“indicated“b²!y“colors:‘qÀThorgrim's“no˜de“are“red;‘ÕPUrgat'sŽ¡‘ …rnošMÞde–]zare“dark“green“and“the“c²!hance“no˜des“are“lighš²!t“green.‘The“lea˜v˜es“of“theŽ¡‘ …rtree–,Ïare“labMÞeled“bš²!y“pa˜y-os“for“bMÞoth“pla˜y˜ers.‘qF‘ÿeor“the“purpMÞose“of“this“note“w˜eŽ¡‘ …rfoMÞcus– Úon“Ìstrictly›[’c–ÿp¹omp“etitive˜zer“o˜sum˜games‘ò¹where– Úeacš²!h“pa˜y-o“has“the“formŽ¡‘ …rÍx=–nìÎ “Íx–¦f¹for“some“real“v‘ÿdDalue“Íx¹.Ž¡‘1…rIn–4áthe“proMÞcedure“of“ï#html:Bac•²!kw“ard–4áInductionï html:“pa²!y-o“v‘ÿdDalues“are“assigned“to“in-Ž¡‘ …rtermediate–Ù¢nošMÞdes“as“w•²!ell.‘w‘A“t–Ù¢a“no˜de“lab˜eled“ÍT‘^ø¹or“ÍU‘A¹the“pla•²!y“er–Ù¢who“has“toŽ¡‘ …rmo•²!v“e– will“cš²!hoMÞose“the“descenden˜t“noMÞde“with“the“highest“pa˜y-o“to“that“pla˜y˜er,Ž¡‘ …rand–°[this“will“result“inš²!to“the“w˜ell“kno˜wn“min-max“algorithm.‘û¼A˜t“a“c˜hance“noMÞdeŽ¡‘ …rthe–Ûåreasonable“paš²!y-o“is“the“expMÞected“pa˜y-o“at“the“descendan˜t“noMÞdes.‘~YIn“theŽ¡‘ …rcase–’of“a“zero-sum“game“the“t•²!w“o–’opMÞerations“preserv²!e“the“zero-sum“format,‘–!andŽ¡‘ …rhence–µMthe“proMÞcedure“is“wš²!ell“dened,‘ùassigning“ev˜en˜tually“a“v‘ÿdDalue“to“the“roMÞotŽ¡‘ …rnošMÞde–¦fwhic²!h“then“b˜ecomes“the“v‘ÿdDalue“of“the“game.Ž¡‘1…rThe–àproblem“is“that“in“general“the“paš²!y-o“v‘ÿdDalues“are“in˜troMÞduced“to“represen˜tŽ¡‘ …rpreferences–õrather“than“absolute“v‘ÿdDalues.‘¬
If“outcome“ÍX‘ìí¹is“preferred“b²!y“ThorgrimŽ¡‘ …ro•²!v“er–ª"outcome“ÍY‘¹one“can“ascribMÞe“to“ÍX‘†¹a“higher“Ìutility‘¢#¹v›ÿdDalue“Íx“¹than“the“v˜alue“ÍyŽ¡‘ …r¹assigned–JLto“ÍY‘nï¹.‘ÉGivš²!en“a“set“of“pMÞossible“outcomes“ordered“b˜y“Thorgrim's“pref-Ž¡‘ …rerences–M‰there“exist“manš²!y“order“preserving“utilit˜y“assignmen˜ts“all“represen˜tingŽ¡‘ …rthe–1Fsame“preferences.‘~|Ho•²!w“ev“er–1Fthese“utilitš²!y“assignmen˜ts“will“ascribMÞe“dieren˜tŽ¡‘ …rpreferences–ÔFto“the“expšMÞected“utilities“computed“at“c²!hance“no˜des“in“the“game“tree.Ž¡‘1…rOne–Öcan“also“lošMÞok“at“this“situation“from“the“p˜ersp˜ectiv²!e“of“the“strategic“formŽ¡‘ …rof–•the“game.‘ØA‘• Ìpur–ÿp¹e‘Úístr“ate“gy‘¹of–•a“pla•²!y“er–•selects“for“ev²!ery“noMÞde“where“he“or“sheŽ¡‘ …rhas–H to“plaš²!y“a“mo˜v˜e“selecting“one“of“the“descendan˜ts“in“the“tree.‘¾iIf“one“applies“aŽ¡‘ …rpair–iof“strategies“for“bMÞoth“pla•²!y“ers–ito“a“game,‘uÒtruncating“mo•²!v“es›iwhic“h˜are˜nev“erŽ¡‘ …rmade–ß,under“these“strategies“a“game“with“only“cš²!hance“mo˜v˜es“remains.‘ˆ/Suc˜hŽ¡‘ …rgames–Þare“in“fact“ï#html:CompšMÞound“Lotteriesï html:“where“the“individual“outcomes“o˜ccurŽ¡‘ …rwith–]pprobabilities“summing“up“to“1.‘Å‹F‘ÿeor“the“application“of“bac•²!kw“ard‘]pinductionŽ¡‘ …rthe–Twproblem“is“noš²!w“ho˜w“to“compare“t˜w˜o“of“these“lotteries.‘ÂŽThat“this“is“a“sev˜ereŽ¡‘ …rproblem– ðis“illustrated“bš²!y“the“notorious“example“constructed“b˜y“Allais;‘Mmsee“sheetŽ¡‘ …rï#html:Comparing–¨gComplex“Lotteries;‘)hAllais“Exampleï html:.‘ãáThe“crux“of“this“example“isŽ¡‘ …rthat–‡Dit“is“\irrational"“to“prefer“the“left“lottery“o•²!v“er–‡Dthe“righ²!t“one“in“the“rstŽ¡‘ …rroš²!w–ï&and“ha˜v˜e“con˜v˜erse“preferences“in“the“second“ro˜w;‘“†whic˜h“is“told“to“bMÞe“aŽ¡‘ …rfrequen•²!tly›¦fobserv“ed˜bMÞeha“vior˜among˜the˜nativ“es.Ž‘ …rŸ!ï#html:Ÿx‰‘ V‘ÿeon–“{Neumann“-“Morgenstern“Utilitš²!yï html:“Theory“pro˜vides“us“with“a“strategy“toŽ¡o•²!v“ercome–áthese“problems.‘œThe“k²!ey“observ‘ÿdDation“is“that“the“problem“doMÞesn't“ariseŽ¡in–
Çcase“there“exist“only“t•²!w“o–
ÇpšMÞossible“outcomes“for“the“game:‘winning“or“lo˜osing.Ž¡These–outcomes“can“bšMÞe“scaled“to“the“v‘ÿdDalues“1“and“0.‘-Next“one“can“ascrib˜e“toŽ¡an–\8inš²!termediate“outcome“ÍX‘80¹suc˜h“that“Thorgrim“prefers“winning“o˜v˜er“ÍX‘80¹and“ÍXŽ¡¹o•²!v“er–loMÞosing,‘”a“Ìutility‘ˆ¹v‘ÿdDalue“Íq‘ô™¹sucš²!h“that“Thorgrim“is“indieren˜t“bMÞet˜w˜een“ÍX‘kþ¹andŽ¡participating–îµin“a“Ìlottery‘涹with“probabilit²!y“Íq›SH¹of“winning“and“1– ÿŒÎ “Íq˜¹of‘îµloMÞosing.‘ ¢TheŽ¡utilit²!y–ozv‘ÿdDalue“Íq‘Ô
¹re
ects“Thorgrim's“taste“and“appreciation“for“the“outcome“ÍX‘ Ûø¹.ŽŽŸ ’ Ù¯‡4ŽŽŒ‹ /Š ¿™¬ ýLfT‘ …rïhtml:ï html:ŽŽ •™¬ ýŽfT‘ …r¹See–ÄÕsheet“ï#html:Utilitš²!y“In˜termediate“Outcomeï html:.‘9+Systematic“substituting“in˜termediateŽ¤
™š‘ …routcomes–%}bš²!y“these“lotteries“in“a“game“truncated“after“a“c˜hoice“of“strategy“forŽ¡‘ …rbMÞoth›Kçpla•²!y“ers˜yields˜a˜so-called˜Ìc–ÿp¹omp“ound‘ƒ-lottery‘Cè¹whic²!h˜can˜bMÞe˜simplied˜to˜aŽ¡‘ …rsimple–·üone.‘ŸAnd“since“these“simple“lotteries“ha•²!v“e›·üt“w“o˜outcomes˜only‘ÿe,‘¼athey˜canŽ¡‘ …reasily–ž{bMÞe“compared:‘Îthe“preferred“lottery“is“the“one“with“the“greater“c²!hanceŽ¡‘ …rof›‡Swinning,–¿ŽI.E.,“the˜one˜with˜the˜higher˜utilit•²!y‘ÿe.‘€£Moreo“v“er,‘¿Žthe˜computationŽ¡‘ …rrule–Geof“taking“the“expMÞected“utilitš²!y“at“a“c˜hance“noMÞde“is“consisten˜t“with“thisŽ¡‘ …rinš²!terpretation–‡»of“in˜termediate“outcomes.‘Ó¤See“sheet“ï#html:Utilit˜y“Lottery“=“ExpMÞectedŽ¡‘ …rUtilit²!y‘¦fOutcomesï html:.Ž¡‘1…rSo–úlwhat“the“v²!on“Neumann“-“Morgenstern“Theory“requires“us“to“do“is“rstŽ¡‘ …rto–Ÿ
assign“to“inš²!termediate“outcomes“a“utilit˜y“v‘ÿdDalue“whic˜h“re
ects“the“taste“ofŽ¡‘ …rthe›Aypla•²!y“er.‘¼9Subsequen“tly˜v‘ÿdDalues˜of˜the˜no•MÞdes˜in˜the˜tree˜can˜b“e˜obtained˜b²!y˜theŽ¡‘ …rcalculation–érule“of“bac•²!kw“ard–éinduction,‘’Ïusing“expMÞected“utilitš²!y“at“c˜hance“noMÞdes.Ž¡‘1…rIt–F.can“bMÞe“shoš²!wn“that“the“utilit˜y“v‘ÿdDalues“re
ecting“the“taste“of“a“pla˜y˜er“areŽ¡‘ …runique–ƒup“to“an“ane“scaling.‘¬ï html:ŸÞïÊ3Ž‘LËUtilities–fffor“the“game“of“ChaosŽŸq‹¹In–…1the“game“tree“of“the“game“of“Chaos“wš²!e“can“tak˜e“eac˜h“pMÞosition“where“oneŽ¡of–_½the“pla•²!y“ers–_½has“lost“all“his“aš²!v‘ÿdDailable“liv˜es“to“bMÞe“lost“for“that“pla˜y˜er“andŽ¡w²!on–HZfor“the“other.‘ùThe“remaining“pšMÞositions“where“b˜oth“pla•²!y“ers–HZare“still“aliv²!eŽ¡yield–8„inš²!termediate“outcomes“in“case“the“pla˜y˜er“who“has“w˜on“the“last“coin-
ipŽ¡decides–Êto“terminate.‘öT‘ÿeo“all“pMÞositions“w²!e“should“assign“utilities“in“order“toŽ¡apply–2•the“vš²!on“Neumann“-“Morgenstern“Utilit˜y“theory‘ÿe.‘·BBy“selecting“appropriateŽ¡assignmen•²!ts›&>w“e˜can˜describMÞe˜scenarios˜where˜pla“ying˜the˜game˜is˜meaninglessŽ¡but–¦falso“alternativš²!es“where“the“game“obtains“a“pMÞositiv˜e“v‘ÿdDalue“for“a“pla˜y˜er.Ž¡‘ In–Ùthe“bac•²!kw“ard–Ùinduction“computation“a“pla•²!y“er–Ùwill“compare“at“a“noMÞdeŽ¡where–jœhe“is“to“mo•²!v“e–jœthe“utilitš²!y“of“the“in˜termediate“outcome“collected“b˜y“termi-Ž¡nating–Aðwith“the“a•²!v“erage–Aðof“the“t•²!w“o–Aðutilities“correspšMÞonding“to“winning“or“lo˜osingŽ¡the–@Ãnext“coin“
ip.‘¬óAs“long“as“bMÞoth“pla•²!y“ers–@Ãuse“ï#html:Linear“Utilitiesï html:“whic²!h“are“lin-Ž¡early–æÊdepMÞendenš²!t“on“the“n˜um˜bMÞer“of“liv˜es“for“the“pla˜y˜ers,‘6âthe“outcome“of“thisŽ¡comparison–z´will“bšMÞe“a“comparison“b˜et•²!w“een–z´equal“utilities“due“to“the“fact“thatŽ¡con•²!tin“uing–2Ðin“a“next“coin“
ip“yields“a“ft•²!y/ft“y›2Ðc“hance˜of˜collecting˜the˜an“te˜forŽŽŸ ’ Ù¯‡5ŽŽŒ‹ B£ ¿™¬ ýLfT‘ …rïhtml:ï html:ŽŽ •™¬ ýŽfT‘ …r¹the–:onext“round.‘™øIt“folloš²!ws“that“in“all“scenario's“where“the“utilit˜y“for“a“pla˜y˜erŽ¤
™š‘ …rof–Å&an“outcome“is“linear“in“his“or“her“n•²!um“bMÞer–Å&of“liv²!es“at“this“outcome“the“v‘ÿdDalueŽ¡‘ …rof–tæthe“game“v‘ÿdDanishes:‘Åeacš²!h“pla˜y˜er“will“assign“the“same“utilit˜y“to“pla˜ying“a“nextŽ¡‘ …rround–%Þand“terminating.‘\DAn“example“of“sucš²!h“a“utilit˜y“function“is“the“functionŽ¡‘ …rÍuŸ¤z¼1Ž‘„ß¹whicš²!h–ÄÛassigns“in“a“pMÞosition“where“Thorgrim“(Urgat)“has“gained“Ím“¹liv˜es“theŽ¡‘ …rutilitš²!y–Õ{Ím“¹to“Thorgrim“(Urgat).‘˜:So“no“pla˜y˜er“will“assign“pMÞositiv˜e“v‘ÿdDalue“to“pla˜yingŽ¡‘ …rthe–ïƒgame“and“therefore“he“will“not“spMÞend“the“required“mana“to“cast“this“sorcery‘ÿe.Ž¡‘1…rThe–‡Imore“inš²!teresting“scenario's“are“obtained“b˜y“disturbing“the“linear“relationŽ¡‘ …rbMÞet•²!w“een›VÐutilit“y˜and˜n“um“bMÞer˜of˜liv“es.‘ïAn˜eviden“t˜attempt˜is˜to˜ascribMÞe˜utilit“yŽ¡‘ …r1–’to“a“pšMÞosition“where“the“other“pla•²!y“er–’is“dead,‘nÝÎ ¹1“to“a“p˜osition“where“theŽ¡‘ …rpla•²!y“er–”˜has“lost“all“his“livš²!es,‘˜'and“0“to“all“in˜termediate“pMÞositions.‘×îGo“for“the“kill!Ž¡‘ …rThis–˜_function“is“called“ÍuŸ¤z¼2Ž‘À¹.›³ÉIn“sheet“ï#html:Go“for“the“kill!ï html:˜the“game“tree“has“bMÞeenŽ¡‘ …rev‘ÿdDaluated–óAfor“a“mošMÞdied“game“where“b˜oth“pla•²!y“ers–óAinitially“ha•²!v“e–óA5“liv²!es.‘ÄnSomeŽ¡‘ …rof–b±the“inš²!termediate“noMÞdes“obtain“non-zero“utilit˜y“but“the“o˜v˜erall“v‘ÿdDalue“of“theŽ¡‘ …rgame–¦fremains“zero.Ž¡‘1…rThe–ïÂsymmetry“can“not“bMÞe“brokš²!en“b˜y“assigning“dieren˜t“utilities“to“bMÞothŽ¡‘ …rpla•²!y“ers.‘¯kIn–sheet“ï#html:Mixed“Utilitiesï html:“I‘ìillustrate“the“game“tree“where“Thorgrim“usesŽ¡‘ …rn•²!um“bMÞer–E of“livš²!es“gained“for“utilit˜y“and“Urgat“is“going“for“the“kill.‘»ŒOnce“againŽ¡‘ …rthe–¦fnet“v‘ÿdDalue“of“the“game“is“zero“for“bMÞoth“pla•²!y“ers.Ž¡‘1…rThe–æŽnext“attempt“is“to“makš²!e“bMÞoth“pla˜y˜ers“insensitiv˜e“to˜w˜ards“losing“theŽ¡‘ …rgame.‘ oPUtilitš²!y–,7function“ÍuŸ¤z¼3Ž‘ ì;¹assigns“v‘ÿdDalue“1“to“a“pMÞosition“where“a“pla˜y˜er“hasŽ¡‘ …rwš²!on–lÓand“v‘ÿdDalue“0“to“all“other“pMÞositions.‘1%In“sheet“ï#html:Winning“is“allï html:“I‘l presen˜t“theŽ¡‘ …rgame–wutree“starting“from“the“initial“situation“where“bMÞoth“pla•²!y“ers›wuha“v“e˜5˜liv“es.Ž¡‘ …rThe–Äresulting“utilitš²!y“is“0Í:¹5“for“bMÞoth“pla˜y˜ers“represen˜ting“their“50%“c˜hance“ofŽ¡‘ …rwinning–¦fthe“game“of“Chaos.Ž¡‘1…rIf–ä9the“initial“situation“is“asymmetrical“the“v‘ÿdDalue“of“the“game“bšMÞecomes“p˜os-Ž¡‘ …ritivš²!e–+{or“negativ˜e“depMÞending“on“whether“the“pla˜y˜er“has“more“or“less“liv˜es“thanŽ¡‘ …rhis–ThoppMÞonen²!t.‘çãIn“sheet“ï#html:Unequal“Startï html:“I‘T;illustrate“the“game“tree“for“an“initialŽ¡‘ …rsituation–~Ëwhere“Thorgrim“has“6“liv²!es“and“Urgat“4.‘ЩThe“game“has“v‘ÿdDalue“1Í=¹8“forŽ¡‘ …rThorgrim–¦fand“Î ¹1Í=¹8“for“Urgat.‘ÝÝThe“utilit²!y“function“used“is“ÍuŸ¤z¼2Ž‘À¹.Ž¡‘1…rOur–g#nal“scenario“is“the“situation“where“Thorgrim“has“one“life“remainingŽ¡‘ …ragainst–J°6“for“Urgat“and“mš²!ust“win“the“game“of“Chaos“in“order“to“surviv˜e.‘¿KThor-Ž¡‘ …rgrim–Úuses“utilit²!y“ÍuŸ¤z¼3Ž‘š¹and“Urgat“ÍuŸ¤z¼2Ž‘À¹.‘x³The“outcome“is“that“the“v‘ÿdDalue“of“the“gameŽ¡‘ …ris–z1Í=¹8“for“Thorgrim“represenš²!ting“the“fact“that“he“m˜ust“win“three“coin-
ips“in“aŽ¡‘ …rroš²!w–µÌin“order“to“surviv˜e,‘¹¦and“3Í=¹4“for“Urgat“illustrating“the“excess“of“his“c˜hanceŽ¡‘ …rof–¦fwinning“(7Í=¹8)“o•²!v“er–¦fthe“c²!hance“of“1Í=¹8“of“losing.Ž¡‘ …rSee–¦fsheet“ï#html:Thorgrim's“last“standï html:.ŽŸ™š‘ …rI‘ hopMÞe– 5that“these“simple“illustrations“suce“to“con²!vince“Johan“of“the“usefulnessŽ¡‘ …rof–ðRthe“vš²!on“Neumann“-“Morgenstern“Utilit˜y“Theory‘ÿe.‘» Remains“to“apply“it“toŽ¡‘ …rgames–¦fin“logic.ŽŸ"€A‘ …rÊReferencesŽ‘ …rŸ×ñï html:ï html:ïhtml:ï html:Ÿ™š‘yš¹[1]ŽŽ‘‚$Ken‘2Binmore,›U™ÌF‘ÿ)un–kÜand“Games;‘¬Ua“text“on“Game“The‘ÿp¹ory‘ ø¹,˜D.C‘2kHeath‘2andŽ¡‘‚$Compan²!y‘ÿe,–¦fLexington,“Mass“(1992)ŽŸ¼Ìï html:ï html:ïhtml:ï html:ŽŸ ’ Ù¯‡6ŽŽŒ‹ SÈ ¿™¬ ýLfT‘ …rïhtml:ï html:ŽŽ •™¬ ýŽfT‘%ÿ¹[2]ŽŽ‘7–Redman.–ðMR.“et.“al.,‘ÆÌMagic–.çthe“Gathering;‘Påthe“p–ÿp¹o“cket–.çplayers“guide“for“theŽŸ
™š‘7–fourth‘êêe‘ÿp¹dition.¹,–¦fWizards“of“the“Coast,“Inc.“USA,“1995.ŽŽŸ ’ Ù¯‡7ŽŽŒø eƒ’À; è¿™¬˜S6 ó%o´‹Ç cmr9ó#!",š
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